Чотирикутна піраміда в завданні C2

1. Вершини чотирикутної піраміди
2. Що робити, коли ребра різні

Вирішуючи задачу C2 методом координат, багато учнів стикаються з однією і тією ж проблемою. Вони не можуть розрахувати координати точок, що входять в формулу скалярного твори. Найбільші труднощі викликають піраміди. І якщо точки підстави вважаються більш-менш нормально, то вершини - справжнє пекло.

Сьогодні ми займемося правильної чотирикутної пірамідою. Є ще трикутна піраміда (вона ж - тетраедр). Це більш складна конструкція, тому їй буде присвячений окремий урок.

Для початку згадаємо визначення:

Правильна піраміда - це така піраміда, у якій:

1. В основі лежить правильний багатокутник: трикутник, квадрат і т.д .;
2. Висота, проведена до основи, проходить через його центр.

Зокрема, підставою чотирикутної піраміди є квадрат. Прямо як у Хеопса, тільки трохи менше.

Нижче наведені розрахунки для піраміди, у якій все ребра рівні 1. Якщо у вашій задачі це не так, викладення не змінюються - просто числа будуть іншими.

Вершини чотирикутної піраміди

Отже, нехай дана правильна чотирикутна піраміда, де - вершина, підстава - квадрат. Всі ребра рівні 1. Потрібно ввести систему координат і знайти координати всіх точок. маємо:

Вводимо систему координат з початком в точці:

1. Ось спрямована паралельно ребру;
2. Ось - паралельно. Оскільки - квадрат, ⊥;
3. Нарешті, вісь направимо вгору, перпендикулярно площині.

Тепер вважаємо координати. Додаткове побудова: - висота, проведена до основи. Для зручності винесемо підставу піраміди на окремий малюнок. Оскільки точки,, і лежать в площині, їх координата = 0. Маємо:

1. = (0; 0; 0) - збігається з початком координат;
2. = (1, 0, 0) - крок на 1 по осі від початку координат;
3. = (1; 1; 0) - крок на 1 по осі і на 1 по осі;
4. = (0; 1; 0) - крок тільки по осі.
5. = (0,5; 0,5; 0) - центр квадрата, середина відрізка.

Залишилося знайти координати точки. Зауважимо, що координати і точок і збігаються, оскільки вони лежать на прямій, паралельній осі. Залишилося знайти координату для точки.

Розглянемо трикутники і:

1. = = 1 за умовою;
2. Кут = = 90 °, оскільки - висота, а ⊥ як діагоналі квадрата;
3. Сторона - загальна.

Отже, прямокутні трикутники і рівні по одному катету і гіпотенузі. Значить, = = 0,5 · .Але - діагональ квадрата зі стороною 1. Тому маємо:

Разом координати точки:

На закінчення, випишемо координати всіх вершин правильної прямокутної піраміди:

Що робити, коли ребра різні

А що, якщо бічні ребра піраміди не рівні ребрам підстави? В цьому випадку розглянемо трикутник:

Трикутник - прямокутний, причому гіпотенуза - це одночасно і бічне ребро вихідної піраміди .Катет легко вважається: = 0,5 ·. Що залишився катет знайдемо по теоремі Піфагора. Це і буде координата для точки.

Завдання. Дана правильна чотирикутна піраміда, в основі якої лежить квадрат зі стороною 1. Бічне ребро = 3. Знайдіть координати точки.

Координати і цієї точки ми вже знаємо: = = 0,5. Це випливає з двох фактів:

1. Проекція точки на площину - це точка;
2. Одночасно точка - центр квадрата, всі сторони якого рівні 1.

Залишилося знайти координату точки. Розглянемо трикутник. Він прямокутний, причому гіпотенуза = = 3, катет - половина діагоналі. Для подальших обчислень нам буде потрібно його довжина:

Теорема Піфагора для трикутника: 2 + 2 = 2. Маємо:

Отже, координати точки:

Дивіться також:

1. Чотирикутна піраміда: як знайти координати вершин
2. Введення системи координат
3. Тест до уроку «Що таке логарифм» (середній)
4. Основне тригонометричну тотожність
5. тригонометричні функції
6. Тест за завданнями B14: середній рівень, 2 варіант