Або гексаедр) являє собою об'ємну фігуру, кожна грань - це квадрат, у якого, як нам відомо, всі сторони рівні. Діагоналлю куба є відрізок, який проходить через центр фігури і з'єднує симетричні вершини. У правильному Гексаедр є 4 діагоналі, і всі вони будуть рівні. Дуже важливо не плутати діагональ самої фігури з діагоналлю її межі або квадрата, який лежить на його підставі. Діагональ грані куба проходить через центр межі і з'єднує протилежні вершини квадрата.
Формула, за якою можна знайти діагональ куба
Діагональ правильного багатогранника можна знайти за дуже простою формулою, яку необхідно запам'ятати. D = a√3, де D позначаємо діагональ куба, а - це ребро. Наведемо приклад завдання, де необхідно знайти діагональ, якщо відомо, що довжина його ребра дорівнює 2 см. Тут все просто D = 2√3, навіть вважати нічого не треба. У другому прикладі, нехай ребро куба дорівнюватиме √3 см, то тоді отримуємо D = √3√3 = √9 = 3. Відповідь: D дорівнює 3 см.
Формула, за якою можна знайти діагональ грані куба
Диаген 
наль межі можна також знайти за формулою. Діагоналей, які лежать на гранях, всього 12 штук, і вони всі рівні між собою. Тепер запам'ятовуємо d = a√2, де d - це діагональ квадрата, а - це також ребро куба або сторона квадрата. Зрозуміти звідки взялася ця формула, дуже просто. Адже дві сторони квадрата і діагональ утворюють В цьому тріо діагональ грає роль гіпотенузи, а сторони квадрата - це катети, які мають однакову довжину. Згадаймо теорему Піфагора, і все тут же стане на свої місця. Тепер завдання: ребро гексаедр дорівнює √8 см, необхідно знайти діагональ його межі. Вставляємо в формулу, і у нас виходить d = √8 √2 = √16 = 4. Відповідь: діагональ грані куба дорівнює 4 см.
Якщо відома діагональ грані куба
За умовою завдання, нам дана тільки діагональ грані правильного багатогранника, яка дорівнює, припустимо, √2 см, а нам необхідно знайти діагональ куба. Формула вирішення цього завдання трохи складніше попередньої. Якщо нам відомо d, то ми можемо знайти ребро куба, виходячи з нашої другої формули d = a√2. Отримуємо а = d / √2 = √2 / √2 = 1см (це наше ребро). А якщо відома ця величина, то знайти діагональ куба не складе труднощів: D = 1√3 = √3. Ось так ми вирішили нашу задачу.
Якщо відома площа поверхні
Наступний алгоритм рішення будується на знаходженні діагоналі по Припустимо, що вона дорівнює 72 см 2. Для початку знайдемо площа однієї грані, а всього їх 6. Значить, 72 необхідно поділити на 6, отримуємо 12 см 2. Це площа однієї грані. Щоб знайти ребро правильного багатогранника, необхідно згадати формулу S = a 2, значить a = √S. Підставляємо і отримуємо a = √12 (ребро куба). А якщо ми знаємо це значення, то і діагональ знайти не складно D = a√3 = √12 √3 = √36 = 6. Відповідь: діагональ куба дорівнює 6 см 2.
Якщо відома довжина ребер куба
Бувають такі випадки, коли в завданні дана тільки довжина всіх ребер куба. Тоді необхідно це значення розділити на 12. Саме стільки сторін в правильному многограннике. Наприклад, якщо сума всіх ребер дорівнює 40, то одна сторона буде дорівнює 40/12 = 3,333. Вставляємо в нашу першу формулу і отримуємо відповідь!
В яких необхідно знайти ребро куба. Це визначення довжини ребра куба по площі грані куба, за обсягом куба, по діагоналі грані куба і по діагоналі куба. Розглянемо всі чотири варіанти таких завдань. (Решта завдання, як правило, є варіаціями вищеперелічених або завданнями з тригонометрії, що мають вельми опосередковане відношення до даного питання)
Якщо відома площа грані куба, то знайти ребро куба дуже просто. Так як грань куба являє собою квадрат зі стороною, рівною ребру куба, то її площа дорівнює квадрату ребра куба. Отже довжина ребра куба дорівнює кореню квадратному з площі його межі, тобто:
а - довжина ребра куба,
S - площа грані куба.
Знаходження межі куба по його об'єму ще простіше. З огляду на, що обсяг куба дорівнює кубу (третього ступеня) довжини ребра куба, отримуємо що довжина ребра куба дорівнює кореню кубічному (третього ступеня) з його обсягу, тобто .:
а - довжина ребра куба,
V - об'єм куба.
Трохи складніше знаходження довжини ребра куба по відомим довжинах діагоналей. Позначимо через:
а - довжину ребра куба;
b - довжину діагоналі грані куба;
c - довжину діагоналі куба.
Як видно з малюнка, діагональ грані і ребра куба утворюють прямокутний рівносторонній трикутник. Отже, за теоремою Піфагора:
Звідси знаходимо:
(Щоб знайти ребро куба потрібно витягти квадратний корінь з половини квадрата діагоналі грані).
Щоб знайти ребро куба по його діагоналі, знову скористаємося малюнком. Діагональ куба (с), діагональ грані (b) і ребро куба (а) утворюють прямокутний трикутник. Значить, відповідно до теореми Піфагора:
Скористаємося вишеустановленной залежністю між a і b і підставимо в формулу
b ^ 2 = a ^ 2 + a ^ 2. отримуємо:
a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2, звідки знаходимо:
3 * a ^ 2 = c ^ 2, отже:
Куб - це прямокутний паралелепіпед, всі ребра якого рівні. Тому загальна формула для об'єму прямокутного паралелепіпеда та формула для площі його поверхні в разі куба спрощуються. Також обсяг куба і його площа поверхні можна знайти, знаючи об'єм кулі, вписаного в нього, або кулі, описаного навколо нього.
Вам знадобиться
- довжина сторони куба, радіус вписаного і описаного кулі
Інструкція
Обсяг прямокутного паралелепіпеда дорівнює: V = abc - де a, b, c - його вимірювання. Тому обсяг куба дорівнює V = a * a * a = a ^ 3, де a - довжина сторони куба .Площадь поверхні куба дорівнює сумі площ всіх його граней. Всього у куба шість граней, тому площа його поверхні дорівнює S = 6 * (a ^ 2).
Нехай куля вписаний в куб. Очевидно, діаметр цієї кулі буде дорівнює стороні куба. Підставляючи довжину діаметра в вирази для обсягу замість довжини ребра куба і використовуючи, що діаметр дорівнює подвоєному радіусу, отримаємо тоді V = d * d * d = 2r * 2r * 2r = 8 * (r ^ 3), де d - діаметр вписаного кола , а r - радіус вписаного окружності.Площадь поверхні куба тоді буде дорівнює S = 6 * (d ^ 2) = 24 * (r ^ 2).
Нехай кулю описаний навколо куба. Тоді його діаметр буде збігатися з діагоналлю куба. Діагональ куба проходить через центр куба і з'єднує дві його протилежні точки.
Розгляньте для початку одну з граней куба. Ребра цієї межі є катетами прямокутного трикутника, в якому діагональ грані d буде гіпотенузою. Тоді по теоремі Піфагора отримаємо: d = sqrt ((a ^ 2) + (a ^ 2)) = sqrt (2) * a.
Потім розгляньте трикутник в якому гіпотенузою буде діагональ куба, а діагональ грані d і одне з ребер куба a - його катетами. Аналогічно, по теоремі Піфагора отримаємо: D = sqrt ((d ^ 2) + (a ^ 2)) = sqrt (2 * (a ^ 2) + (a ^ 2)) = a * sqrt (3).
Отже, по виведеної формулою діагональ куба дорівнює D = a * sqrt (3). Звідси, a = D / sqrt (3) = 2R / sqrt (3). Отже, V = 8 * (R ^ 3) / (3 * sqrt (3)), де R - радіус описаного шара.Площадь поверхні куба дорівнює S = 6 * ((D / sqrt (3)) ^ 2) = 6 * (D ^ 2) / 3 = 2 * (D ^ 2) = 8 * (R ^ 2).
Нерідко зустрічаються завдання, в яких необхідно знайти ребро куба, найчастіше це слід виконати на основі інформації про його обсязі, площі грані або її діагоналі. Існує кілька варіантів визначення ребра куба.
У тому випадку, якщо відома площа куба, то можна легко визначити ребро. Грань куба являє собою квадрат зі стороною, рівною ребру куба. Відповідно, її площа дорівнює квадрату ребра куба. Слід скористатися формулою: а = √S, де а - це довжина ребра куба, а S - це площа грані куба. Знайти ребро куба по його об'єму - ще більш просте завдання. Потрібно враховувати, що обсяг куба дорівнює кубу (В третього ступеня) довжини ребра куба. Виходить, що довжина ребра дорівнює кубічному кореню з його обсягу. Тобто, ми отримуємо наступну формулу: а = √V, де а - це довжина ребра куба, а V - об'єм куба.
За діагоналях також можна знайти ребро куба. Відповідно, нам необхідні: а - довжина ребра куба, b - довжина діагоналі грані куба, c - довжина діагоналі куба. По теоремі Піфагора отримуємо: a ^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2, і звідси можна легко вивести таку формулу: a = √ (b ^ 2/2), по якій витягується ребро куба.
Ще раз по теоремі Піфагора (a ^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2) можна отримати наступну залежність: a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2, з якої виводимо: 3 * a ^ 2 = c ^ 2, отже, ребро куба можна отримати наступним чином: a = √ (c ^ 2/3).
