Вирішуючи задачу C2 методом координат, багато учнів стикаються з однією і тією ж проблемою. Вони не можуть розрахувати координати точок, що входять в формулу скалярного твори. Найбільші труднощі викликають піраміди. І якщо точки підстави вважаються більш-менш нормально, то вершини - справжнє пекло.
Сьогодні ми займемося правильної чотирикутної пірамідою. Є ще трикутна піраміда (вона ж - тетраедр). Це більш складна конструкція, тому їй буде присвячений окремий урок.
Для початку згадаємо визначення:
Правильна піраміда - це така піраміда, у якій:
- В основі лежить правильний багатокутник: трикутник, квадрат і т.д .;
- Висота, проведена до основи, проходить через його центр.
Зокрема, підставою чотирикутної піраміди є квадрат. Прямо як у Хеопса, тільки трохи менше.
Нижче наведені розрахунки для піраміди, у якій все ребра рівні 1. Якщо у вашій задачі це не так, викладення не змінюються - просто числа будуть іншими.
Вершини чотирикутної піраміди
Отже, нехай дана правильна чотирикутна піраміда, де - вершина, підстава - квадрат. Всі ребра рівні 1. Потрібно ввести систему координат і знайти координати всіх точок. маємо:
Вводимо систему координат з початком в точці:
- Ось спрямована паралельно ребру;
- Ось - паралельно. Оскільки - квадрат, ⊥;
- Нарешті, вісь направимо вгору, перпендикулярно площині.
Тепер вважаємо координати. Додаткове побудова: - висота, проведена до основи. Для зручності винесемо підставу піраміди на окремий малюнок. Оскільки точки,, і лежать в площині, їх координата = 0. Маємо:
- = (0; 0; 0) - збігається з початком координат;
- = (1, 0, 0) - крок на 1 по осі від початку координат;
- = (1; 1; 0) - крок на 1 по осі і на 1 по осі;
- = (0; 1; 0) - крок тільки по осі.
- = (0,5; 0,5; 0) - центр квадрата, середина відрізка.
Залишилося знайти координати точки. Зауважимо, що координати і точок і збігаються, оскільки вони лежать на прямій, паралельній осі. Залишилося знайти координату для точки.
Розглянемо трикутники і:
- = = 1 за умовою;
- Кут = = 90 °, оскільки - висота, а ⊥ як діагоналі квадрата;
- Сторона - загальна.
Отже, прямокутні трикутники і рівні по одному катету і гіпотенузі. Значить, = = 0,5 · .Але - діагональ квадрата зі стороною 1. Тому маємо:
Разом координати точки:
На закінчення, випишемо координати всіх вершин правильної прямокутної піраміди:
Що робити, коли ребра різні
А що, якщо бічні ребра піраміди не рівні ребрам підстави? В цьому випадку розглянемо трикутник:
Трикутник - прямокутний, причому гіпотенуза - це одночасно і бічне ребро вихідної піраміди .Катет легко вважається: = 0,5 ·. Що залишився катет знайдемо по теоремі Піфагора. Це і буде координата для точки.
Завдання. Дана правильна чотирикутна піраміда, в основі якої лежить квадрат зі стороною 1. Бічне ребро = 3. Знайдіть координати точки.
Координати і цієї точки ми вже знаємо: = = 0,5. Це випливає з двох фактів:
- Проекція точки на площину - це точка;
- Одночасно точка - центр квадрата, всі сторони якого рівні 1.
Залишилося знайти координату точки. Розглянемо трикутник. Він прямокутний, причому гіпотенуза = = 3, катет - половина діагоналі. Для подальших обчислень нам буде потрібно його довжина:
Теорема Піфагора для трикутника: 2 + 2 = 2. Маємо:
Отже, координати точки:
Дивіться також:
- Чотирикутна піраміда: як знайти координати вершин
- Введення системи координат
- Тест до уроку «Що таке логарифм» (середній)
- Основне тригонометричну тотожність
- тригонометричні функції
- Тест за завданнями B14: середній рівень, 2 варіант