Анотація: У цій лекції ми спочатку детально розглянемо аукціони першої та другої ціни вже з більш формальних, математичних позицій, а потім доведемо цікавий (і дуже корисний надалі) факт про те, що завжди можна перебудувати аукціон так, щоб агентам було вигідно говорити правду . Для аукціонів першої і другої ціни ми побудуємо оптимальні стратегії поведінки агентів, очікування прибутку організаторів. Але спочатку визначимо умови, в яких проводиться аукціон.
Вступ
Наші аукціони будуть проходити з закритими ставками (ще кажуть - в режимі закритих торгів; так зазвичай проводять, наприклад, оголошення про закупівлю). є 
незалежних агентів, які хочуть купити один об'єкт. Вважається, що учасники подають заявки "в конвертах" організаторам, які на підставі всіх ставок вирішують, якому агенту віддати цей об'єкт і за яку ціну.
Будемо вважати, що можлива внутрішня вартість агента 
визначається випадковою величиною 
. Інакше кажучи, агент при багаторазовому повторенні аукціону буде мати внутрішні вартості, що підкоряються розподілу випадкової величини . Припустимо також, що однаково розподілені на відрізку 
, І кожна з них має неубутних функцію розподілу 
. В принципі можливо, що 
, але в будь-якому випадку 
.
Далі припустимо, що агент знає все 
, 
і знає свою ставку 
, Яку він поставить. При цьому конкретні значення 
, , Які поставили інші агенти, агент не знає.
Нарешті, зробимо ще одне припущення про природу агентів. Будемо вважати, що всі мають одну і ту ж функцію розподілу 
, І все агенти обізнані про те, що у всіх однакова функція розподілу . Така модель називається симетричною}.
Моделі аукціонів: закриті і відкриті ставки
Коли ми говоримо "аукціон", першої, звичайно, на думку спадає ситуація, в якій учасники один за іншим піднімають ціну, і коли в результаті залишається тільки один, який і купує розігрується лот.
- Сто сорок п'ять в п'ятому ряду праворуч, раз. Зал потух. Дуже дорого. - Сто сорок п'ять, два. Остап байдуже розглядав ліпний карниз. Іполит Матвійович сидів, опустивши голову, і здригався. - Сто сорок п'ять, три ... Але, перш ніж чорний лакований молоточок вдарився об фанерну кафедру, Остап повернувся, викинув вгору руку і неголосно сказав: - Двісті!
Приблизно так, правда? Такий аукціон називається англійським. Насправді ж, звичайно, різних моделей аукціонів набагато більше. Наприклад, інша класична модель - так званий голландський аукціон. Він отримав таку назву тому, що саме за цією моделлю проводяться класичні голландські аукціони, на яких продають квіти1 .. У голландському аукціоні аукционер починає торги з свідомо занадто високу ціну, після чого знижує її до тих пір, поки не підніметься перша рука (тобто поки перший агент не захоче купити лот за оголошеною ціною). Після цього лот йде тому, хто захотів його придбати, і за тією ціною, яка була оголошена.
І англійською і голландською аукціони відносяться до аукціонів з відкритими ставками. У таких аукціонах кожен агент повністю бачить процес торгів, включаючи ставки інших агентів (хоча в голландському аукціоні, можна сказати, як раз не бачить, а якщо побачив, значить, торги закінчилися - але що поробиш, такий вже аукціон).
Але бувають ще й аукціони з закритими ставками. Модель цю найкраще представити таким чином: агенти подають аукціонерам закриті конверти, в яких написані ставки кожного з агентів. Аукционер розкриває конверти, а потім визначає переможця і ціну, яку переможець повинен заплатити; саме цими двома функціями різні аукціони з закритими ставками і відрізняються один від одного. Прикладів аукціонів з закритими ставками в реальному житті теж багато; наприклад, так проводяться тендери.
Аукціони з закритими ставками аналізувати з математичної точки зору зручніше - набагато більш чітко формулюються базові поняття: в контексті закритих ставок це просто дві функції: розподіл виграшу і виплати агентів. Але при цьому непогано б розглянути і аукціони з відкритими ставками. На щастя, легко зрозуміти, що аукціони з відкритими ставками (в деяких припущеннях) еквівалентні аукціонів з закритими ставками.
Розглянемо аукціон першої ціни з закритими ставками: агенти подають на папірцях ціни, які вони готові заплатити, аукционер вибирає найбільшу з них і продає особі, яка її агенту лот по цій самій ціні. Порівняйте цю модель з голландським аукціоном: аукционер починає оголошувати ціни і знижує їх до тих пір, поки не знайдеться перший агент, готовий купити лот за оголошеною ціною. Якщо припустити, що у агента є деяка внутрішня вартість, з якої він готовий розлучитися заради оголошеного лота, то агент в голландському аукціоні підніме руку якраз в той момент, коли ціна досягне цієї вартості. І в аукціоні першої ціни він напише ту ж саму вартість. Таким чином, голландський аукціон і аукціон першої ціни з закритими ставками еквівалентні.
Для англійського аукціону теж можна знайти еквівалентний йому аукціон з закритими ставками. Правда, для цього доведеться припустити, що внутрішні цінності агентів незалежні, адже в англійському аукціоні агент чує ставки інших агентів і теоретично міг би модифікувати свою власну ставку в залежності від почутого. Про те, що відбувається в таких випадках, ми почнемо говорити в лекції "Аукціони з залежними цінностями" ; в дійсності виявиться, що в такій ситуації англійська аукціон потрібно аналізувати по-іншому. Але якщо зробити припущення про незалежність внутрішніх цінностей, то англійська аукціон стає еквівалентний аукціону другої ціни} з закритими ставками. В аукціоні другий ціни аукционер збирає ставки в конвертах; переможцем стає, як і в аукціоні першої ціни, який оголосив максимальну ціну, але платить він не те, що оголосив, а ціну другого зверху учасника. Цей аукціон ще називається аукціоном Вікрам; в наступному розділі ми дізнаємося про нього багато цікавого. Легко бачити, що ці два аукціони еквівалентні: в англійському аукціоні переможець визначається в той момент, коли здається другий зверху гравець. Відповідно, і платить він не свою внутрішню цінність, а внутрішню цінність другого зверху гравця.
Про різних моделях аукціонів можна докладніше прочитати в [ 48 ]; ми ж будемо надалі в основному розглядати аукціони з закритими ставками, особливо наголошуючи на аукціони першої та другої ціни. Тепер ви знаєте, чому вони настільки важливі.
Приблизно так, правда?